第八章 二階電路
一、教學目標
1. 理解二階電路的基本概念及其與一階電路的區別。
2. 掌握RLC串聯與并聯二階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的分析方法。
3. 熟練運用經典時域分析法(建立微分方程、求解特征根、確定響應形式)求解二階動態電路。
4. 深刻理解二階電路響應的三種狀態:過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼,并能根據電路參數進行判別。
5. 了解二階電路的階躍響應和沖激響應。
二、教學重點與難點
* 重點:
1. RLC串聯二階電路微分方程的建立與求解。
- 特征方程與特征根,以及特征根與電路響應狀態(過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼)的對應關系。
- 根據初始條件確定積分常數。
- 難點:
- 欠阻尼狀態下響應表達式的物理意義及其振蕩特性分析。
- 電路參數(R, L, C)對響應狀態的決定性影響。
- 沖激響應的概念與求解方法。
三、教學內容與教學設計
8.1 二階電路概述
內容:定義二階電路(需用二階微分方程描述的動態電路),典型示例:RLC串聯電路、RLC并聯電路。回顧儲能元件初始值(uC(0+), iL(0+))的確定方法。
設計:通過與一階RC/RL電路的對比,引入二階電路的概念,強調其動態特性的復雜性(可能出現振蕩)。
8.2 RLC串聯電路的零輸入響應
* 內容:
1. 建立方程:以電容電壓uC(t)為變量,建立二階齊次微分方程:LC d2uC/dt2 + RC duC/dt + uC = 0。
- 求解特征根:特征方程 LC s2 + RC s + 1 = 0,根為 s1,2 = -R/(2L) ± √((R/(2L))2 - 1/(LC))。
- 響應狀態分析(核心):
- 過阻尼(非振蕩放電):當 R > 2√(L/C) 時,s1, s2為兩個不等負實根,響應形式:uC(t) = A1e^(s1t) + A2e^(s2t)。
- 臨界阻尼:當 R = 2√(L/C) 時,s1 = s2 = -R/(2L)為重根,響應形式:uC(t) = (A1 + A2t)e^(-αt),其中α = R/(2L)。
- 欠阻尼(振蕩放電):當 R < 2√(L/C) 時,s1,2 = -α ± jωd為一對共軛復根(α = R/(2L)為衰減系數,ωd = √(1/(LC) - (R/(2L))2)為阻尼振蕩角頻率)。響應形式:uC(t) = Ke^(-αt) cos(ωd t + θ)。
- 確定常數:利用初始條件 uC(0+) 和 duC/dt|t=0+ = iL(0+)/C 求解積分常數A1, A2或K, θ。
- 設計:以過阻尼為重點講解求解全過程,引導學生推導臨界阻尼和欠阻尼情況。利用MATLAB/仿真軟件演示不同阻尼狀態下uC(t)和iL(t)的波形,加深理解。
8.3 RLC串聯電路的零狀態響應與全響應
* 內容:
1. 零狀態響應:在直流或正弦電源激勵下,電路初始儲能為零的響應。求解方法:非齊次微分方程的通解(強制分量/特解)+齊次通解(自由分量)。特解通常為常數(直流激勵)或正弦量(正弦激勵)。
- 全響應:初始儲能與外部激勵共同作用下的響應。可分解為零輸入響應與零狀態響應之和,或分解為強制分量與自由分量之和。
- 設計:舉例說明直流電壓源激勵下RLC串聯電路的零狀態響應求解步驟。強調全響應的兩種分解方式及其物理意義。
8.4 RLC并聯電路的響應
內容:與串聯電路對偶。以電感電流iL(t)為變量,建立方程:LC d2iL/dt2 + (L/R) diL/dt + iL = 0(考慮電導G=1/R)。特征根形式及過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼的判據與串聯電路對偶。
設計:引導學生通過與串聯電路的類比,自行推導并聯電路的分析公式,培養知識遷移能力。
8.5 二階電路的階躍響應與沖激響應
* 內容:
1. 階躍響應:單位階躍激勵下的零狀態響應。求解方法同8.3節。
- 沖激響應:單位沖激激勵下的零狀態響應。重點講解兩種求解方法:
- 將沖激激勵轉化為初始條件(沖激源在t=0瞬間建立初始儲能),然后按零輸入響應求解。
- 先求階躍響應s(t),再求導得沖激響應h(t)=ds(t)/dt。
- 設計:通過物理概念解釋沖激響應是電路固有特性的體現。舉例演示利用“沖激建立初始值”法求解RLC串聯電路的沖激響應。
四、本章小結
1. 二階電路的分析關鍵在于正確建立微分方程并求解特征根。
2. 電路響應特性完全由特征根決定,而特征根又取決于電路參數R、L、C。電阻R是消耗能量、抑制振蕩的關鍵因素。
3. 欠阻尼響應中的衰減振蕩現象在工程中具有重要意義(如濾波、諧振)。
4. 所有響應均由初始條件和電路固有特性共同決定。
五、課后作業與思考題
1. 基礎題:給定RLC串聯電路參數和初始值,計算特征根,判斷響應狀態,并寫出電容電壓響應表達式。
2. 分析題:如何調整RLC串聯電路中的電阻值,使其響應從過阻尼變為欠阻尼?臨界電阻值是多少?
3. 應用題:一個簡單的振蕩器模型可以用欠阻尼RLC電路近似,若希望振蕩頻率為f0,應如何選擇L和C?衰減速度由哪個參數控制?
4. 仿真題:使用Multisim或PSpice搭建RLC串聯電路,改變電阻值,觀測并記錄過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼三種狀態下電容電壓的波形。
六、教學資源關聯
本教案配套PPT課件包含所有公式推導、波形圖解與例題演示。
實驗指導書對應章節提供RLC電路暫態過程實驗。
* 網絡課程平臺提供本章知識點講解視頻、典型例題解析視頻及在線自測題。
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(本電子教案為打印優化版,內容精煉,重點突出,適用于西安石油大學電子工程學院網絡工程及相關專業《電路分析基礎》課程教學與學生復習。)